over 3 years ago

Twitterを見ていたら

虚数iをi乗すると実数になる。「i(私)のi乗(愛情)は実数(本物)です」って事だよ。

というのが流れてきました。
思わず虚数だって本物だって突っ込んでしまったのですがよく考えるともっと恐ろしい(面白い)ことがわかったので解説したいと思いますw

そもそも\(i^i\)とはなんでしょう。
一般に複素数\(a,z\)に対して

$$
a^z=e^{z\log a}
$$

と定義されます。ここで\(e\)は自然対数の底です。
これは実数の指数対数を知っていればなんとなく受け入れられると思います。
例えば

$$
\log 2^3 = 3 \log 2 \\
e^{3\log 2} = e^{\log 2^3} = 2^3
$$

ですね!
これを使えば\(i^i\)は\(e^{i\log i}\)となります。
あとは複素数における\(e^z\)と\(\log z\)を理解できれば良さそうですね。
\(e^z\)の実数の時のテイラー展開の形を思い出してください。
複素関数の場合は逆にそれをもって\(e^z\)の定義にします。

$$
e^z = 1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots
$$

\(\log z\)は\(z\)が実数の時は\(e^z\)の逆関数でしたね?
今\(e^z\)はわかっているので複素数の場合も同様の性質を満たすとしてそれを定義にします。
すなわち\(\log z\)は\(z=e^w\)を満たす\(w\)だと定義するのです。
しかしこの場合注意しないといけないのは今複素数の値を考えているので\(w\)は一つとは限らないということです。
例えば\(\log 1\)は\(1 = e^w\)を満たす\(w\)の値ですがこれは\(0,2\pi i,4\pi i,\dots\)とたくさん存在します。
一般に\(w\)が\(z=e^w\)を満たせば\(n\)を整数とすると\(w+2n\pi i\)も\(z=e^{w+2n\pi i}\)を満たします。
(複数の値を取りうるのですがあえてひとつの値にしたい時は偏角が\(0\)から\(2\pi\)の間のものを考えて主値とすることもあります)
以上のことを踏まえてあらためて\(i^i=e^{i\log i}\)について考えてみると\(e^{\frac{\pi}{2}i}=i\)より

$$
\log i= \left\{\frac{\pi}{2}i+2n\pi i\mid n\in \mathbb{Z} \right\}
$$

となります。複数の値を取りうるので集合ですね!
すると

$$
i^i = e^{i\log i} = \left\{e^{i\left(\frac{\pi}{2}i+2n\pi i\right)}\mid n\in \mathbb{Z}\right\} = \left\{e^{-\frac{\pi}{2}-2n\pi}\mid n\in \mathbb{Z}\right\}
$$

となり無事に\(i^i\)の値を計算することが出来ました!
結果をよく見てみると実数\(e\)の実数乗になってて確かに実数ですね!

でも待ってください?確かに実数ですが結果は集合、つまり複数の値がありますね???
どれだけあるかというと指数の性質から分かるように\(n\)を小さくするといくらでも大きな正の実数になり、逆に\(n\)を大きくするといくらでも小さな正の実数になることがわかります。
つまり 無限個 の値を取りうるのです!
このことを踏まえてTwitterで流れてきたようなセリフを考えるとすると

i(私)のi乗(愛情)は実数(本物)ですが、いくつも(無限個)ありますよ。

ということですね。あーあー男の人っていくつも愛を持っているのね♪
更にいくらでも大きな値をとりうるので「君が一番だよ☆」は確実に嘘になります。
やれやれですね

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