over 4 years ago

今日たまたまコンパクトについてしゃべってたのでメモ

定義: コンパクト
ある位相空間の部分集合がコンパクトであるとは、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことである
参考(wikipedia)

例えば\(\mathbb{R}^n\)に関しては次のような定理が成り立つ

Heine-Borelの定理:
\(\mathbb{R}^n\)の集合がコンパクトであることの必要十分条件は有界かつ閉であることである

証明は今手元にある猪狩先生の「実解析入門」には載ってた

ところで\(\mathbb{R}\)の部分集合(0,1)って本当にコンパクトじゃないのだろうか。小さいし"コンパクト"なのに…
そこで表題である

命題:
\(\mathbb{R}\)の部分集合(0,1)はコンパクトではない


証明:
\(A_n = \left(\frac{1}{n},1\right)\)として

とおくと\(I\)は(0,1)の開被覆となっている
もし(0,1)がコンパクトだと仮定すると有限個の添字\(n_1,n_2,\dots,n_k\)が存在し

となり\(\bigcup_{l=1}^k A_{n_l}\)は(0,1)の被覆となる
今 \({n_1,n_2,\dots,n_k}\) は有限個であるので最大値が存在しそれを\(n_{max}\)とおく
すると

であるが

でありこれは\(\bigcup_{l=1}^k A_{n_l}\)が(0,1)の被覆であることに矛盾する
よって以上より(0,1)はコンパクトではない\(\blacksquare\)

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